Majorer la variance, ou l'estimer

1. $f(1-f)=0,043\times 0,957=0,041151$, donc

$$\sqrt{\frac{0,041151}{1000\times 0,05}}=\sqrt{\frac{0,041151}{50}}=\sqrt{0,00082302}\simeq 0,0287.$$

L'intervalle devient $[0,0143;0,0717]$, entièrement contenu dans $[0,1]$.

2. $0,0707/0,0287\simeq 2,46$ : la majoration par $\frac{1}{4}$ donne un intervalle près de deux fois et demie plus large. Ce n'est pas une erreur — l'intervalle large est valable — mais c'est une perte d'information considérable.

3. Elles coïncident lorsque $f=\frac{1}{2}$, seul cas où $f(1-f)$ atteint $\frac{1}{4}$. Plus $f$ s'éloigne de $\frac{1}{2}$, plus la majoration est coûteuse.

Réserve. Remplacer $V(X)$ par $f(1-f)$, c'est utiliser l'échantillon deux fois ; la garantie n'est plus exacte. Le programme n'en demande pas plus que la remarque.