Moyenne et écart-type d'une petite série

La moyenne empirique. La somme vaut $8+10+12+9+11+10=60$, donc $$\overline{x}=\frac{60}{6}=10.$$

La moyenne des carrés. $$\frac{8^2+10^2+12^2+9^2+11^2+10^2}{6}=\frac{64+100+144+81+121+100}{6}=\frac{610}{6}\approx 101,667.$$

La variance empirique. Par la formule de Kœnig-Huygens appliquée à la série, $$s^2=101,667-10^2=1,667.$$

Contrôle par la définition. Les écarts à la moyenne valent $-2,0,2,-1,1,0$, dont les carrés font $4,0,4,1,1,0$, de somme $10$. Donc $s^2=\frac{10}{6}\approx 1,667$ : les deux chemins donnent le même nombre.

L'écart-type empirique. $$s=\sqrt{1,667}\approx 1,29.$$

Lecture. L'intervalle $[\overline{x}-2s;\overline{x}+2s]=[7,4;12,6]$ contient les six valeurs observées, ce qui est cohérent pour une série aussi resserrée.