Trancher sur une majorité

L'intervalle actuel. Avec $n=2500$ et $a=0,05$ :

$$\frac{1}{2\sqrt{2500\times 0,05}}=\frac{1}{2\sqrt{125}}\approx 0,0447,$$

d'où $[0,485;0,575]$.

La conclusion. Cet intervalle contient $0,5$ : avec cette garantie, le projet peut être minoritaire comme majoritaire. On ne peut rien affirmer.

Ce qu'il faudrait. Pour trancher, il faut que la borne inférieure dépasse $0,5$, c'est-à-dire que la demi-largeur soit strictement inférieure à $0,53-0,5=0,03$ :

$$\frac{1}{2\sqrt{0,05n}}<0,03⟺\sqrt{0,05n}>\frac{1}{0,06}⟺0,05n>277,8,$$

soit $n>5555,6$ : il faudrait environ $5556$ personnes, plus du double de l'échantillon actuel.

Le commentaire. Et sans garantie d'y arriver : si le nouveau sondage donnait $f=0,51$, il faudrait tout recommencer avec une précision trois fois plus fine, donc neuf fois plus de personnes.

Le point à retenir. Un résultat annoncé « à $53\%$ » n'est une majorité que si l'intervalle tout entier est au-dessus de $0,5$. Plus la fréquence observée est proche du seuil à franchir, plus l'échantillon exigé est grand.