Trois fois plus précis

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 11 — Estimation · Précision, taille et seuil

Énoncé

Un institut annonce un intervalle de confiance de largeur $0, 14$ au seuil de $95 %$ , obtenu sur $n = 1000$ personnes.

Vérifier cette largeur.
Quelle taille faudrait-il pour une largeur trois fois plus petite, à seuil égal ?
Et pour une largeur deux fois plus petite au seuil de $90 %$ ?

Corrigé

1. La demi-largeur vaut $\frac{1}{2 1 000 \times 0 , 05} = \frac{1}{2 50} ≃ 0, 0707$ , donc la largeur vaut $2 \times 0, 0707 ≃ 0, 1414$ . L'annonce est correcte.

2. La demi-largeur est proportionnelle à $1/ n$ : la diviser par $3$ demande de multiplier $n$ par $3^{2} = 9$ , donc $n = 9000$ personnes.

3. Au seuil de $90 %$ ( $a = 0, 10$ ), on veut $\frac{1}{2 0 , 10 n} \leq \frac{0 , 0707}{2}$ , c'est-à-dire $0, 10 n \geq (\frac{1}{0 , 0707})^{2} ≃ 200$ , soit $n \geq 2000$ .

Le contraste. Passer de $95 %$ à $90 %$ fait gagner un facteur $2$ sur la largeur ; passer de $1000$ à $9000$ personnes en fait gagner $3$ . Sur la précision, la taille pèse bien plus que le seuil.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.