Un cahier des charges à deux contraintes

L'outil. Pour que la demi-largeur au risque $a$ soit au plus $\epsilon$, il suffit que $$\frac{1}{2\sqrt{na}}\le \epsilon ⟺2\sqrt{na}\ge \frac{1}{\epsilon }⟺4na\ge \frac{1}{{\epsilon }^2}⟺n\ge \frac{1}{4a{\epsilon }^2}.$$

Première exigence. $\epsilon =0,02$ et $a=0,05$ : $$n\ge \frac{1}{4\times 0,05\times 0,0004}=\frac{1}{8\times 10^{-5}}=12500.$$

Seconde exigence. $\epsilon =0,03$ et $a=0,01$ : $$n\ge \frac{1}{4\times 0,01\times 0,0009}=\frac{1}{3,6\times 10^{-5}}\approx 27777,8,$$ donc $n\ge 27778$.

La conclusion. Les deux conditions doivent être vérifiées ensemble : il faut retenir la plus exigeante, c'est-à-dire la plus grande des deux tailles. $$n_{\min }=27778\text{personnes}.$$

Contrôle. Avec $n=27778$, la demi-largeur au seuil de $95\%$ vaut $\frac{1}{2\sqrt{27778\times 0,05}}\approx 0,0134$, soit $1,3$ point : la première exigence est largement dépassée, ce qui est cohérent.

Le point délicat. On ne fait pas la moyenne des deux tailles, et l'on ne choisit pas celle qui arrange : deux contraintes simultanées imposent le maximum. Et l'on notera le coût de la seconde — passer de $95\%$ à $99\%$ de confiance en n'assouplissant la précision que d'un point double presque l'effectif nécessaire.