Un contrôle avant lancement

Exercice · niveau 2 · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 11 — Estimation · Du sondage à l'intervalle de confiance

Énoncé

Avant le lancement d'une série, on contrôle $900$ pièces prises au hasard : $72$ sont défectueuses. Donner l'estimation ponctuelle du taux de défaut, puis l'intervalle de confiance au seuil de $95 %$ , variance majorée par $\frac{1}{4}$ , puis celui au seuil de $90 %$ . Le cahier des charges impose un taux inférieur à $10 %$ : peut-on l'affirmer ?

Corrigé

Estimation ponctuelle. La réponse « défectueuse ou non » se modélise par une variable de Bernoulli de paramètre $p$ , le taux de défaut inconnu. L'estimation est la fréquence observée :

$f = \frac{72}{900} = 0, 08, soit 8 %.$

Au seuil de 95 pour cent. Avec $a = 0, 05$ et $n = 900$ , la demi-largeur vaut

$\frac{1}{2 n a} = \frac{1}{2 900 \times 0 , 05} = \frac{1}{2 45} \approx 0, 0745,$

d'où l'intervalle $[0, 005; 0, 155]$ .

Au seuil de 90 pour cent. Avec $a = 0, 10$ : $\frac{1}{2 900 \times 0 , 10} = \frac{1}{2 90} \approx 0, 0527$ , d'où $[0, 027; 0, 133]$ . Il est plus étroit, comme attendu : moins de confiance exigée, moins de largeur.

La conclusion. Les deux intervalles contiennent $0, 10$ . On ne peut donc pas affirmer que le taux de défaut est inférieur à $10 %$ : avec cette garantie, il pourrait valoir $12 %$ .

Le point à retenir. L'estimation ponctuelle, $8 %$ , suggère que le cahier des charges est tenu ; elle ne le démontre pas. Ce qui décide, c'est la position du seuil contractuel par rapport à l'intervalle tout entier.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.