Un intervalle qui déborde

Exercice · niveau 2 · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 11 — Estimation · Les limites de la méthode

Énoncé

Sur $1000$ pièces contrôlées, $43$ sont défectueuses.

Donner l'estimation ponctuelle du taux de défaut.
Écrire l'intervalle de confiance au seuil de $95 %$ , variance majorée par $\frac{1}{4}$ .
Que remarque-t-on ? Que faut-il en faire ?

Corrigé

1. $f = \frac{43}{1 000} = 0, 043$ , soit $4, 3 %$ .

2. La demi-largeur vaut $\frac{1}{2 1 000 \times 0 , 05} = \frac{1}{2 50} ≃ 0, 0707$ , donc l'intervalle brut est $[- 0, 0277; 0, 1137]$ .

3. La borne inférieure est négative, ce qui n'a aucun sens pour une proportion. On tronque : l'intervalle utilisable est $[0; 0, 1137]$ .

Pourquoi cela arrive. La majoration $V \leq \frac{1}{4}$ suppose le pire cas $p = \frac{1}{2}$ , alors qu'ici $p$ est visiblement petit — la vraie variance $p (1 - p)$ est bien plus faible. La méthode reste valide, mais elle est ici franchement grossière ; l'exercice suivant mesure de combien.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.