Un intervalle sur un petit échantillon

La formule. L'intervalle de confiance au seuil $1-a$, pour une variable de Bernoulli et une variance majorée par $\frac{1}{4}$, est $$\left[f-\frac{1}{2\sqrt{na}};f+\frac{1}{2\sqrt{na}}\right].$$

La demi-largeur. Ici $n=400$ et $a=0,05$, donc $na=20$ et $$h=\frac{1}{2\sqrt{20}}=\frac{1}{8,944}\approx 0,112.$$

L'intervalle. $$[0,55-0,112;0,55+0,112]=[0,438;0,662].$$

La conclusion. L'intervalle contient $0,5$. On ne peut donc pas affirmer, au seuil de $95\%$, que le projet est majoritaire : les données sont compatibles avec une proportion réelle de $45\%$ comme avec une proportion de $65\%$.

Ce qu'il faudrait. Un échantillon plus grand. La demi-largeur décroît en $1/\sqrt{n}$ : il faudrait $h<0,05$, donc $n>\frac{1}{4\times 0,05\times 0,05^2}=2000$ personnes, à fréquence observée inchangée.