Un taux de défaut estimé

Le modèle. À chaque pièce contrôlée on associe la variable $X_i$ valant $1$ si elle est défectueuse et $0$ sinon. Cette variable suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$, le taux de défaut de la production. Les $1500$ contrôles sont supposés indépendants et de même loi.

Le paramètre. Pour une loi de Bernoulli, $E(X_i)=p$ : le paramètre cherché est l'espérance, ce qui autorise à l'estimer par la moyenne empirique.

L'estimation ponctuelle. La moyenne des $1500$ observations est la fréquence de défauts : $$\overline{x}=\frac{45}{1500}=0,03,$$ soit $3\%$.

Est-ce la vraie valeur ? Non, presque sûrement pas. ${\overline{X}}_n$ est une variable aléatoire : un autre lot de $1500$ pièces donnerait un autre nombre. Ce que l'on sait, c'est que $E({\overline{X}}_n)=p$ — l'estimation vise juste en moyenne — et que sa dispersion décroît quand $n$ grandit.

Ce qui manque. Un nombre livré seul ne dit pas de combien il peut se tromper. C'est pourquoi on l'accompagne d'un intervalle de confiance, qui ajoute une garantie à l'estimation.