Un taux de retour, et la variance qu'on ne peut pas calculer

Le modèle. On associe à chaque destinataire la variable $X_i$ valant $1$ s'il renvoie le questionnaire et $0$ sinon : $X_i$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$, le taux de retour cherché. Les $1200$ envois sont supposés indépendants et de même loi : ils forment un échantillon de taille $n=1200$.

L'estimation ponctuelle. Comme $E(X_i)=p$, le paramètre cherché est l'espérance ; on l'estime par la moyenne empirique, qui est ici la fréquence observée : $$\overline{x}=\frac{852}{1200}=0,71,$$ soit $71\%$.

Espérance et variance de la moyenne empirique. Les $X_i$ étant indépendantes, de même espérance $p$ et de même variance $p(1-p)$ : $$E({\overline{X}}_n)=p,V({\overline{X}}_n)=\frac{p(1-p)}{n}=\frac{p(1-p)}{1200}.$$

Pourquoi elle n'est pas calculable. La variance dépend de $p$, c'est-à-dire du paramètre inconnu que l'on cherche justement à estimer. On ne peut donc pas en donner la valeur.

Ce qu'on peut tout de même en dire. Le produit $p(1-p)$ est majoré par $\frac{1}{4}$ pour tout $p\in [0,1]$, avec égalité en $p=\frac{1}{2}$. Donc $$V({\overline{X}}_n)\le \frac{1}{4\times 1200}\approx 2,08\times 10^{-4},\sigma ({\overline{X}}_n)\le 0,0144.$$ C'est cette majoration, et elle seule, qui rendra l'intervalle de confiance calculable sans connaître $p$.

Le point délicat. ${\overline{X}}_n$ est une variable aléatoire, dont on calcule espérance et variance ; $\overline{x}=0,71$ est un nombre, celui qu'on a observé. Les garanties portent sur la première, jamais sur le second.