Une durée moyenne d'intervention

Moyenne empirique.

$$\overline{x}=\frac{1610}{50}=32,2\text{ minutes}.$$

Variance empirique. On n'a pas les $50$ durées, seulement deux sommes : on emploie donc la formule de Kœnig-Huygens, « moyenne des carrés moins carré de la moyenne » :

$$s^2=\frac{1}{50}\sum _{i=1}^{50}{x}_i^2-{\overline{x}}^2=\frac{55000}{50}-32,2^2=1100-1036,84=63,16.$$

Écart-type empirique. $s=\sqrt{63,16}\approx 7,95$ minutes.

L'intervalle demandé. $[32,2-7,95;32,2+7,95]=[24,25;40,15]$ minutes.

Contrôle. La variance empirique est positive, comme toute moyenne de carrés — si le calcul avait donné un nombre négatif, c'est que $\sum x_i^2$ ou $\overline{x}$ aurait été mal recopié. Et $s$ vaut environ le quart de $\overline{x}$, ce qui est plausible pour des durées d'intervention.

Le point à retenir. L'écart-type empirique est ce que l'on met à la place de $\sigma$ quand celui-ci est inconnu, ce qui est presque toujours le cas. La formule de Kœnig-Huygens le rend calculable à partir de deux sommes seulement, sans jamais revenir aux données individuelles.