Une durée moyenne estimée sur huit observations

Le modèle. La durée d'une intervention est une variable aléatoire $X$ d'espérance $m$ inconnue. Les huit durées observées forment la réalisation d'un échantillon $X_1,\dots ,X_8$ indépendant et de même loi que $X$.

L'estimation ponctuelle. C'est la moyenne empirique observée. La somme vaut $$12+15+11+14+13+16+12+15=108,$$ donc $$\overline{x}=\frac{108}{8}=13,5\text{minutes}.$$

Ce que cela garantit. Deux choses, et deux seulement. D'abord $E({\overline{X}}_8)=m$ : la méthode ne penche systématiquement ni vers le haut ni vers le bas. Ensuite, la loi faible des grands nombres assure que l'écart à $m$ devient improbable quand la taille de l'échantillon grandit.

Ce que cela ne garantit pas. Rien sur cet échantillon-ci. Avec huit observations seulement, l'écart entre $13,5$ et la vraie moyenne $m$ peut être notable : $V({\overline{X}}_8)=\frac{V(X)}{8}$, et $8$ est un petit dénominateur.

Contrôle de vraisemblance. La valeur trouvée, $13,5$, tombe bien au milieu des données observées, qui s'étendent de $11$ à $16$ : une moyenne empirique est toujours comprise entre la plus petite et la plus grande des valeurs.