Une série donnée par ses effectifs

Ce que change la présentation. Les données ne sont pas listées une par une : chaque valeur est accompagnée de son effectif. La moyenne est alors la moyenne pondérée par ces effectifs, ce qui revient exactement à la définition appliquée aux $100$ nombres.

La moyenne empirique. $$\overline{x}=\frac{0\times 12+1\times 25+2\times 30+3\times 20+4\times 13}{100}.$$ Le numérateur vaut $0+25+60+60+52=197$, donc $$\overline{x}=\frac{197}{100}=1,97\text{reˊclamation par jour}.$$

La moyenne des carrés. $$\frac{0^2\times 12+1^2\times 25+2^2\times 30+3^2\times 20+4^2\times 13}{100}=\frac{0+25+120+180+208}{100}=\frac{533}{100}=5,33.$$

La variance empirique, par Kœnig-Huygens. $$s^2=5,33-(1,97{)}^2=5,33-3,8809=1,4491,$$ et l'écart-type empirique vaut $$s=\sqrt{1,4491}\approx 1,204\text{reˊclamation}.$$

Contrôle de vraisemblance. La moyenne $1,97$ tombe bien entre $0$ et $4$, près du centre de la série où se trouve l'effectif le plus lourd. Et l'écart-type $1,20$ est du même ordre que la demi-étendue, $2$ : c'est cohérent pour une série étalée sur cinq valeurs.

Lecture. L'intervalle $[\overline{x}-2s;\overline{x}+2s]=[-0,44;4,38]$ contient toutes les valeurs observées. Sa borne gauche négative n'a pas de sens pour un comptage : c'est le signe qu'un tel intervalle est un repère de dispersion, pas une prévision.