Covariance, corrélation et droite, à la main

Le point moyen. $\overline{x}=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=3,5$ et $\overline{y}=\frac{3+3+6+8+9+13}{6}=\frac{42}{6}=7$. Donc $G=(3,5;7)$.

Les trois sommes. Les écarts en $x$ valent $-2,5;-1,5;-0,5;0,5;1,5;2,5$, et ceux en $y$ $-4;-4;-1;1;2;6$. $$\sum (x_i-\overline{x}{)}^2=17,5,\sum (y_i-\overline{y}{)}^2=74,$$ $$\sum (x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})=10+6+0,5+0,5+3+15=35.$$

La covariance empirique. $\mathrm{cov}(x,y)=\frac{35}{6}\approx 5,83$.

Le coefficient de corrélation. Avec $s_x=\sqrt{17,5/6}\approx 1,708$ et $s_y=\sqrt{74/6}\approx 3,512$ : $$r=\frac{\mathrm{cov}(x,y)}{s_x{s}_y}=\frac{35}{\sqrt{17,5\times 74}}=\frac{35}{\sqrt{1295}}\approx 0,973.$$ La liaison affine est forte et croissante.

La droite de régression. $$a=\frac{\sum (x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sum (x_i-\overline{x}{)}^2}=\frac{35}{17,5}=2,b=\overline{y}-a\overline{x}=7-2\times 3,5=0.$$ La droite est donc $y=2x$.

Contrôle gratuit. Elle doit passer par le point moyen : $2\times 3,5=7$, c'est bien $\overline{y}$.

Lecture. Cent mètres carrés de plus valent en moyenne deux cent mille euros de chiffre d'affaires supplémentaire — sur ces six magasins, et dans la plage de surfaces observée.