Deux tailles pour une même précision

Par Bienaymé-Tchebychev. La moyenne de $n$ simulations indépendantes a pour variance ${\sigma }^2/n$, donc $$P([|{\overline{X}}_n-m|\ge 0,01])\le \frac{4}{n\times 0,0001}.$$ Il suffit que ce majorant soit sous $0,05$ : $$n\ge \frac{4}{0,05\times 0,0001}=800000.$$

Par l'approximation normale. Le théorème limite central donne à ${\overline{X}}_n$ une allure de cloche d'écart-type $\sigma /\sqrt{n}$, et une demi-largeur au seuil de $95\%$ égale à $1,96\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$. La condition $1,96\times \frac{2}{\sqrt{n}}\le 0,01$ donne $$\sqrt{n}\ge \frac{1,96\times 2}{0,01}=392,\text{donc}n\ge 392^2=153664.$$

Le programme.

sigma, eps, a = 2, 0.01, 0.05

n_tch = sigma**2 / (a * eps**2)
n_asy = (1.96 * sigma / eps)**2
print(n_tch, n_asy, n_tch / n_asy)
# 800000.0 153664.0 5.206...

Le commentaire. L'approximation normale demande environ cinq fois moins de simulations pour la même précision annoncée. L'écart vient de ce que Bienaymé-Tchebychev ne suppose rien de la loi, tandis que l'approximation normale exploite la forme en cloche que prend la moyenne.

Ce que chacune garantit. La première donne une garantie exacte, vraie pour tout $n$ et toute loi de variance $4$. La seconde n'est qu'asymptotique : sa couverture s'approche de $95\%$ quand $n$ grandit, sans être garantie à $n$ fixé. Le mot n'est pas décoratif — il désigne exactement ce qui manque à cette seconde taille.