L'histogramme des moyennes

Le programme.

import numpy as np
import numpy.random as rd
import matplotlib.pyplot as plt

m = np.mean(rd.random((20000, 8)), 1)
print(np.mean(m), np.std(m))
plt.hist(m, 40)
plt.show()

rd.random((20000, 8)) produit $20000$ lignes de $8$ tirages ; le second argument 1 de np.mean demande la moyenne de chaque ligne.

Les prévisions. L'espérance d'une moyenne est l'espérance commune, donc $E\left({\overline{X}}_8\right)=\frac{1}{2}$. Et pour des tirages indépendants,

$$\sigma \left({\overline{X}}_8\right)=\frac{\sigma }{\sqrt{8}}=\frac{1}{\sqrt{12}\sqrt{8}}=\frac{1}{\sqrt{96}}\approx 0,102.$$

Ce qu'on voit. Un histogramme en cloche, centré sur $0,5$, dont l'essentiel tient entre $0,2$ et $0,8$ — alors que la loi de départ est un rectangle, plat. La forme est apparue toute seule, en huit tirages.

Ce que la simulation ne démontre pas. Rien : elle illustre. Elle ne prouve pas que la loi limite est normale — c'est le théorème limite central, qui n'est pas au programme et n'a pas à être restitué. En revanche l'égalité $\sigma \left({\overline{X}}_n\right)=\sigma /\sqrt{n}$, elle, se démontre : elle vient de $V(aX)=a^{2}V(X)$ et de l'additivité des variances sous indépendance.

Le point à retenir. Une simulation répond à « quelle forme ? », qu'aucun calcul du programme n'atteint ici, et jamais à « pourquoi ? ». Les deux nombres prévus servent à vérifier que le programme fait ce qu'on croit.