La fonction de répartition empirique

Ce qu'est la fonction de répartition empirique. Elle associe à un réel $t$ la proportion d'observations inférieures ou égales à $t$. C'est la version observée de $F_X$, qui vaut ici $$F_X(t)=1-{\mathrm{e}}^{-0,4t}\text{pour }t\ge 0.$$

Le piège de syntaxe. rd.exponential attend la moyenne $1/\lambda$, et non $\lambda$ : pour $\lambda =0,4$, on écrit rd.exponential(1 / 0.4).

Le programme.

import numpy as np
import numpy.random as rd
import matplotlib.pyplot as plt

rd.seed(11)
n = 5000
lam = 0.4
ech = rd.exponential(1 / lam, n)

t = np.linspace(0, 10, 200)
emp = np.zeros(200)
for i in range(200):
    emp[i] = np.mean(ech <= t[i])

plt.plot(t, emp)
plt.plot(t, 1 - np.exp(-lam * t))
plt.show()

Comment la ligne centrale fonctionne. ech <= t[i] rend un tableau de booléens, et np.mean en calcule la moyenne en comptant True pour $1$ : on obtient exactement la proportion cherchée.

Ce que l'on observe. Les deux courbes se superposent presque partout. La courbe empirique est en escalier — elle monte de $1/n$ à chaque observation — mais avec $n=5000$ les marches sont invisibles à l'œil.

Deux contrôles chiffrés. En $t=2,5$, la théorie donne $1-{\mathrm{e}}^{-1}\approx 0,632$ ; en $t=10$, $1-{\mathrm{e}}^{-4}\approx 0,982$. La courbe empirique doit passer tout près de ces deux valeurs.

Le regard critique. L'écart entre les deux courbes se réduit quand $n$ grandit : c'est la loi faible des grands nombres, appliquée pour chaque $t$ à la variable valant $1$ si l'observation est sous $t$.