Les deux intervalles de confiance

1. $\frac{1}{2\sqrt{na}}=\frac{1}{2\sqrt{1000\times 0,05}}=\frac{1}{2\sqrt{50}}\simeq 0,0707$, soit $[0,349;0,491]$.

2. $\frac{1,96}{2\sqrt{n}}=\frac{1,96}{2\sqrt{1000}}\simeq 0,0310$, soit $[0,389;0,451]$.

3. Le rapport vaut $0,0707/0,0310\simeq 2,28$ : l'asymptotique est plus de deux fois plus étroit. Le premier offre une garantie exacte et valable pour tout $n$ — la probabilité de contenir $p$ est au moins $0,95$, en réalité proche de $1$, ce qui explique sa largeur. Le second n'offre qu'une garantie approchée, d'autant meilleure que $n$ est grand : la simulation du cours mesure $94,9\%$.

Conclusion. Prudence contre précision. Les instituts publient le second ; le programme ne rend exigible que le vocabulaire du premier.