Les deux intervalles de confiance

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 12 — Informatique et travaux pratiques · Théorème limite central

Énoncé

Un sondage porte sur $n = 1000$ personnes et donne une fréquence observée $f = 0, 42$ . 1. Calculer la demi-largeur de l'intervalle de Bienaymé-Tchebychev au seuil de $95 %$ . 2. Calculer celle de l'intervalle asymptotique au même seuil. 3. Comparer, et dire ce que garantit chacun.

Corrigé

1. $\frac{1}{2 n a} = \frac{1}{2 1 000 \times 0 , 05} = \frac{1}{2 50} ≃ 0, 0707$ , soit $[0, 349; 0, 491]$ .

2. $\frac{1 , 96}{2 n} = \frac{1 , 96}{2 1 000} ≃ 0, 0310$ , soit $[0, 389; 0, 451]$ .

3. Le rapport vaut $0, 0707/0, 0310 ≃ 2, 28$ : l'asymptotique est plus de deux fois plus étroit. Le premier offre une garantie exacte et valable pour tout $n$ — la probabilité de contenir $p$ est au moins $0, 95$ , en réalité proche de $1$ , ce qui explique sa largeur. Le second n'offre qu'une garantie approchée, d'autant meilleure que $n$ est grand : la simulation du cours mesure $94, 9 %$ .

Conclusion. Prudence contre précision. Les instituts publient le second ; le programme ne rend exigible que le vocabulaire du premier.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.