Revenir à une croissance exponentielle

Pourquoi transformer. Une croissance $y=c{q}^x$ donne, en passant au logarithme, $$\ln y=\ln c+x\ln q,$$ c'est-à-dire une droite en $x$. On ajuste donc $z=\ln y$, pas $y$.

Les valeurs transformées. $z_i=\ln y_i$ vaut approximativement $0,693;1,131;1,482;1,917;2,303$.

Les moyennes. $\overline{x}=2$ et $\overline{z}=\frac{7,526}{5}\approx 1,505$.

Les deux sommes. $$\sum (x_i-\overline{x}{)}^2=4+1+0+1+4=10,$$ $$\sum (x_i-\overline{x})(z_i-\overline{z})\approx 1,624+0,374+0+0,412+1,595=4,005.$$

La droite. $$a=\frac{4,005}{10}\approx 0,400,b=\overline{z}-a\overline{x}\approx 1,505-0,801=0,704.$$ Donc $\ln y\approx 0,400x+0,704$.

Le retour au modèle multiplicatif. En composant par l'exponentielle, $$y\approx {\mathrm{e}}^{0,704}\times {\left({\mathrm{e}}^{0,400}\right)}^x\approx 2,02\times (1,49{)}^x.$$ Autrement dit $c\approx 2,0$ millions d'euros au départ, et une croissance d'environ $49\%$ par an.

La prévision. Pour $x=5$ : $$y\approx 2,02\times 1,49^5\approx 2,02\times 7,4\approx 15,0\text{millions d’euros}.$$

Une réserve. Prolonger d'une année au-delà des données observées est une extrapolation : le modèle décrit ce qui s'est passé, il ne garantit pas que le rythme se maintienne.