Un point qui fausse tout

Ce qui s'est passé. L'observation retirée est un point aberrant : elle s'écarte fortement de l'alignement suivi par les neuf autres. Sa présence gonfle $s_x$, $s_y$ et surtout perturbe la covariance, si bien que le coefficient de corrélation, qui est un rapport, s'effondre.

Pourquoi un seul point pèse autant. La covariance empirique est une moyenne de produits $(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})$. Un point très éloigné du point moyen fournit un produit de très grande valeur absolue, éventuellement de signe contraire aux autres : sur dix observations seulement, il peut à lui seul renverser la somme.

Comment le repérer. En traçant le nuage, ce qui est le premier geste du thème :

import matplotlib.pyplot as plt

plt.scatter(x, y)
plt.show()

Le point aberrant se voit immédiatement, très à l'écart des autres. Aucun coefficient calculé ne le signale — $r$ dit seulement que la liaison affine est faible, sans dire pourquoi.

Ce qu'il faut en faire. Trois attitudes, dans cet ordre.

• Vérifier la donnée : erreur de saisie, unité changée, virgule déplacée. Si c'est une faute, on la corrige.
• Si elle est juste, on ne la supprime pas pour embellir le résultat : ce serait fabriquer la conclusion. On signale sa présence et l'on donne les deux coefficients.
• Se demander si elle relève du même phénomène : un magasin d'une autre nature, un mois exceptionnel n'appartiennent peut-être pas à la population étudiée — mais cela se justifie par le contexte, jamais par le calcul.

La leçon. Un résumé numérique ne remplace jamais le graphique : deux nuages très différents peuvent avoir le même $r$.