Une pré-transformation logarithmique

Exercice · niveau 2 · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 12 — Informatique et travaux pratiques · Statistiques descriptives bivariées

Énoncé

Le chiffre d'affaires $y$ d'une entreprise s'incurve comme une exponentielle. On pose $z_{i} = ln y_{i}$ et l'on a calculé $x = 2$ , $z = 1, 699$ , $\sum (x_{i} - x)^{2} = 10$ et $\sum (x_{i} - x) (z_{i} - z) = 3$ . Ajuster une droite à la série $(x_{i}, z_{i})$ , en déduire $y$ en fonction de $x$ , et écrire les instructions Python.

Corrigé

La droite ajustée. Les coefficients des moindres carrés sont

$a = \frac{\sum ( x _{i} - x ) ( z _{i} - z )}{\sum ( x _{i} - x ) ^{2}} = \frac{3}{10} = 0, 300, b = z - a x = 1, 699 - 0, 600 = 1, 099.$

Donc $z = 0, 300 x + 1, 099$ , c'est-à-dire $ln y = 0, 300 x + 1, 099$ .

Contrôle. La droite passe par le point moyen : $0, 300 \times 2 + 1, 099 = 1, 699 = z$ .

Retour à la variable d'origine. On applique l'exponentielle aux deux membres :

$y = e^{0, 300 x + 1, 099} = e^{1, 099} \times (e^{0, 300})^{x} \approx 3, 00 \times 1, 3 5^{x} .$

Le chiffre d'affaires part de $3$ et croît d'environ $35 %$ par an.

Les instructions.

z = np.log(y)
a, b = np.polyfit(x, z, 1)
plt.scatter(x, z)
plt.plot(x, a * x + b)
plt.show()

Le dernier argument de np.polyfit est le degré : $1$ demande une droite.

Le point à retenir. L'ajustement affine ne sait traiter que des droites. Devant un nuage qui s'incurve, on transforme d'abord — le logarithme change une croissance $y = c q^{x}$ en la droite $ln y = ln c + x ln q$ —, on ajuste ensuite, et l'on revient à la variable d'origine.

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