Combien d'années pour atteindre un objectif

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 2 — Compléments d'intégration · Valeur actuelle d'un flux continu

Énoncé

Un investissement rapporte $25000$ euros par an, versés de façon continue, au taux d'actualisation $r = 0, 05$ . Au bout de combien d'années la valeur actuelle du flux atteint-elle $300000$ euros ? Cette valeur peut-elle atteindre $600000$ euros ?

Corrigé

La valeur actuelle sur $T$ années. Un euro reçu dans $t$ années vaut $e^{- r t}$ euro aujourd'hui, donc $V (T) = \int_{0}^{T} 25000 e^{- 0, 05 t} d t = 25000 \times \frac{1 - e ^{- 0, 05 T}}{0 , 05} = 500000 (1 - e^{- 0, 05 T}),$ en primitivant $t \mapsto e^{- 0, 05 t}$ en $t \mapsto - \frac{1}{0 , 05} e^{- 0, 05 t}$ .

L'équation. On cherche $T$ tel que $V (T) = 300000$ : $1 - e^{- 0, 05 T} = \frac{300 000}{500 000} = 0, 6, donc e^{- 0, 05 T} = 0, 4.$ En passant au logarithme : $- 0, 05 T = ln 0, 4$ , soit $T = \frac{- ln 0 , 4}{0 , 05} = 20 ln 2, 5 \approx 18, 3 ans .$

Le plafond. Comme $e^{- 0, 05 T} > 0$ pour tout $T$ , on a toujours $V (T) < 500000$ . La valeur actuelle ne peut donc jamais atteindre $600000$ euros, ni même $500000$ : elle croît vers cette limite sans l'atteindre.

Interprétation. Même en versant $25000$ euros par an pendant l'éternité, on ne constitue aujourd'hui qu'un demi-million : c'est le rapport $F / r$ , et c'est le prix du temps.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.