Comparer deux intégrales sans les calculer

Ce qu'on compare. Il s'agit de comparer les deux fonctions intégrées sur $[0,1]$, puis d'appliquer la comparaison des intégrales.

Les dénominateurs. Pour $t\in [0,1]$, on a vu que $t^2\le t$ (multiplier $t\le 1$ par $t\ge 0$). Donc $$1+t^2\le 1+t.$$

Le passage à l'inverse. Les deux quantités sont strictement positives, et la fonction inverse est décroissante sur $]0,+\infty [$ : l'inégalité s'inverse, $$\frac{1}{1+t}\le \frac{1}{1+t^2}\text{pour tout }t\in [0,1].$$

Conclusion. Par comparaison de deux intégrales sur $[0,1]$, bornes dans l'ordre croissant, $${\int }_0^1\frac{\mathrm{d}t}{1+t}\le {\int }_0^1\frac{\mathrm{d}t}{1+t^2}.$$

Contrôle numérique. La première vaut $\ln 2\approx 0,693$ ; la seconde vaut environ $0,785$. L'inégalité annoncée est bien celle-là.

Le point délicat. Le renversement de l'inégalité au moment du passage à l'inverse : c'est là que se joue tout l'exercice.