Comparer sans calculer, puis vérifier

Exercice · niveau 2 · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 2 — Compléments d'intégration · Positivité et encadrements

Énoncé

Comparer $t$ et $t^{2}$ sur $[0, 1]$ , puis sur $[1, 2]$ .
En déduire l'ordre de $\int_{0}^{1} t d t$ et $\int_{0}^{1} t^{2} d t$ , puis celui des mêmes intégrales sur $[1, 2]$ .
Vérifier par le calcul.

Corrigé

1. Pour $t \in [0, 1]$ , $t^{2} = t \times t \leq t \times 1 = t$ : on a $t^{2} \leq t$ . Pour $t \in [1, 2]$ , $t \geq 1$ donc $t^{2} = t \times t \geq t$ : l'inégalité s'inverse.

2. Par comparaison des intégrales, $\int_{0}^{1} t^{2} d t \leq \int_{0}^{1} t d t$ , tandis que $\int_{1}^{2} t d t \leq \int_{1}^{2} t^{2} d t$ .

3. Sur $[0, 1]$ : $\frac{1}{3} \leq \frac{1}{2}$ . Sur $[1, 2]$ : $\int_{1}^{2} t d t = \frac{4 - 1}{2} = \frac{3}{2}$ et $\int_{1}^{2} t^{2} d t = \frac{8 - 1}{3} = \frac{7}{3} \approx 2, 33$ , donc $\frac{3}{2} \leq \frac{7}{3}$ .

Attention. L'ordre des intégrales suit celui des fonctions sur l'intervalle considéré. Changer d'intervalle peut renverser la conclusion : c'est exactement ce qui se produit ici en $t = 1$ .

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