Deux exponentielles à comparer

La comparaison des exposants. Pour $t\in [0,1]$, on a $t\le 1$ ; en multipliant par $t\ge 0$ il vient $t^2\le t$.

Le passage à l'exponentielle. La fonction exponentielle est croissante sur $\mathbb{R}$, donc ${\mathrm{e}}^{t^2}\le {\mathrm{e}}^t$ pour tout $t\in [0,1]$.

Le passage à l'intégrale. Par comparaison de deux intégrales sur $[0,1]$, avec les bornes dans l'ordre croissant, $$A={\int }_0^1{\mathrm{e}}^{t^2}\mathrm{d}t\le {\int }_0^1{\mathrm{e}}^t\mathrm{d}t=B.$$

La valeur de $B$. $B=[{\mathrm{e}}^t{]}_0^1=\mathrm{e}-1\approx 1,718$.

L'encadrement de $A$. Pour la minoration, $t^2\ge 0$ donne ${\mathrm{e}}^{t^2}\ge {\mathrm{e}}^0=1$, d'où $A\ge {\int }_0^{1}1\mathrm{d}t=1$. Donc $$1\le A\le \mathrm{e}-1\approx 1,718.$$

Le point délicat. On n'a pas calculé $A$ : la fonction $t\mapsto {\mathrm{e}}^{t^2}$ n'a pas de primitive s'exprimant avec les fonctions usuelles. C'est précisément pour cela que la comparaison est utile — elle donne une information chiffrée là où le calcul est hors d'atteinte.