Deux intégrations par parties

Première intégrale. On pose $u^{\prime }(t)={\mathrm{e}}^t$ et $v(t)=t$, donc $u(t)={\mathrm{e}}^t$ et $v^{\prime }(t)=1$ :

$${\int }_0^{1}t{\mathrm{e}}^t\mathrm{d}t=[t{\mathrm{e}}^t{]}_0^1-{\int }_0^1{\mathrm{e}}^t\mathrm{d}t=\mathrm{e}-(\mathrm{e}-1)=1.$$

Seconde intégrale. On pose $u^{\prime }(t)=1$ et $v(t)=\ln t$ :

$${\int }_1^2\ln t\mathrm{d}t=[t\ln t{]}_1^2-{\int }_1^{2}1\mathrm{d}t=2\ln 2-1\approx 0,386.$$

Le réflexe. Dans les deux cas, on a dérivé le facteur qui se simplifie : $t$ devient $1$, $\ln t$ devient $1/t$ qui s'annule contre le $t$ apporté par la primitivation.