Deux offres à comparer

Compléments d'intégration · Valeur actuelle d'un flux continu · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Une entreprise hésite entre deux contrats, tous deux au taux d'actualisation $r = 0, 05$ :

recevoir $30000$ euros par an de façon continue pendant $8$ ans ;
recevoir $200000$ euros d'un coup dans $4$ ans, soit $200000 e^{- 4 r}$ en valeur actuelle.

Calculer les deux valeurs actuelles et conclure. On donne $e^{- 0, 4} \approx 0, 6703$ et $e^{- 0, 2} \approx 0, 8187$ .

Corrigé

Premier contrat. Sa valeur actuelle est

$V_{1} = \int_{0}^{8} 30000 e^{- 0, 05 t} d t = 30000 \times \frac{1 - e ^{- 0, 4}}{0 , 05} = 30000 \times \frac{0 , 3297}{0 , 05} .$

Soit $V_{1} = 30000 \times 6, 594 \approx 197800$ euros.

Second contrat. $V_{2} = 200000 \times e^{- 0, 2} \approx 200000 \times 0, 8187 = 163740$ euros.

Conclusion. $V_{1} > V_{2}$ : le premier contrat vaut mieux, bien qu'il rapporte $240000$ euros au total contre $200000$ . Le versement étalé commence plus tôt, donc il est moins amputé par l'actualisation.

Le piège à éviter. Comparer $240000$ et $200000$ n'a aucun sens : ce sont des euros de dates différentes. Seules les valeurs actuelles se comparent.

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