Deux parties pour un logarithme au carré

Ce qu'on montre. Le carré du logarithme s'intègre en deux intégrations par parties emboîtées.

La première partie. On écrit l'intégrande $1\times (\ln t{)}^2$ et l'on pose $u^{\prime }(t)=1$, $v(t)=(\ln t{)}^2$, d'où $u(t)=t$ et $v^{\prime }(t)=\frac{2\ln t}{t}$, continues sur $[1,\mathrm{e}]$ : $$J=[t(\ln t{)}^2{]}_1^{\mathrm{e}}-{\int }_1^{\mathrm{e}}t\times \frac{2\ln t}{t}\mathrm{d}t=\mathrm{e}-2{\int }_1^{\mathrm{e}}\ln t\mathrm{d}t,$$ le crochet valant $\mathrm{e}\times 1^2-1\times 0^2=\mathrm{e}$ et le $t$ se simplifiant dans l'intégrale restante.

La seconde partie. Avec $u^{\prime }(t)=1$ et $v(t)=\ln t$ : $${\int }_1^{\mathrm{e}}\ln t\mathrm{d}t=[t\ln t{]}_1^{\mathrm{e}}-{\int }_1^{\mathrm{e}}1\mathrm{d}t=\mathrm{e}-(\mathrm{e}-1)=1.$$

Conclusion. $J=\mathrm{e}-2\approx 0,718$.

Contrôle. Sur $[1,\mathrm{e}]$, $(\ln t{)}^2$ reste entre $0$ et $1$ : l'intégrale est entre $0$ et $\mathrm{e}-1\approx 1,718$. La valeur trouvée y est.

Le point à retenir. Le facteur $1$ qu'on fait apparaître est le ressort de la méthode : c'est lui qu'on primitive, pendant que le logarithme se dérive et perd un exposant à chaque tour.