Encadrer, puis vérifier

Ce qu'on montre. Un encadrement de la fonction se transporte à l'intégrale ; on mesure ensuite sa qualité en calculant la vraie valeur.

L'encadrement de la fonction. Pour $t\in [0,1]$, $1\le 1+t\le 2$. Ces trois nombres étant strictement positifs, passer aux inverses renverse l'ordre : $\frac{1}{2}\le \frac{1}{1+t}\le 1$.

Le transport. Par comparaison de deux intégrales sur $[0,1]$, de longueur $1$ : $${\int }_0^1\frac{1}{2}\mathrm{d}t\le I\le {\int }_0^{1}1\mathrm{d}t,\text{c’est-aˋ-dire}\frac{1}{2}\le I\le 1.$$

La valeur exacte. Sur $[0,1]$ on a $1+t>0$, donc $t\mapsto \ln (1+t)$ est une primitive de l'intégrande : $$I=[\ln (1+t){]}_0^1=\ln 2\approx 0,693.$$

La comparaison. $0,693$ appartient bien à $[0,5;1]$. L'encadrement est juste mais grossier : sa largeur vaut $0,5$, et son milieu $0,75$ s'écarte de la vraie valeur d'environ $0,057$.

Le point à retenir. Encadrer par deux constantes est la méthode la moins chère : sur un intervalle de longueur $b-a$, elle donne toujours $m(b-a)\le {\int }_a^{b}f\le M(b-a)$.