Encadrer sans primitive

L'encadrement de la fonction. Pour $t\in [0,1]$ on a $0\le t^2\le 1$, donc $-1\le -t^2\le 0$. La fonction exponentielle étant croissante :

$${\mathrm{e}}^{-1}\le {\mathrm{e}}^{-t^2}\le {\mathrm{e}}^0=1.$$

Le passage aux intégrales. Le corollaire d'encadrement, avec $m={\mathrm{e}}^{-1}$, $M=1$ et $b-a=1$, donne exactement $\frac{1}{\mathrm{e}}\le {\int }_0^1{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t\le 1$.

Ce que cela vaut. Numériquement $0,368\le I\le 1$, alors que $I\approx 0,747$. L'encadrement est grossier, mais il est obtenu sans primitive — et cette fonction n'en a aucune qui s'écrive avec les fonctions usuelles.