Encadrer une exponentielle décroissante

L'encadrement de la fonction. Sur $[0,1]$, on a $0\le t\le 1$, donc $-1\le -t\le 0$. L'exponentielle étant croissante, $${\mathrm{e}}^{-1}\le {\mathrm{e}}^{-t}\le {\mathrm{e}}^0=1.$$

Le passage à l'intégrale. Les bornes sont dans l'ordre croissant, et l'intervalle est de longueur $1$. Par comparaison de deux intégrales, $${\int }_0^1\frac{1}{\mathrm{e}}\mathrm{d}t\le {\int }_0^1{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t\le {\int }_0^{1}1\mathrm{d}t,$$ c'est-à-dire $\frac{1}{\mathrm{e}}\le {\int }_0^1{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t\le 1$.

Le calcul. Une primitive de $t\mapsto {\mathrm{e}}^{-t}$ est $t\mapsto -{\mathrm{e}}^{-t}$, donc $${\int }_0^1{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t=[-{\mathrm{e}}^{-t}{]}_0^1=-\frac{1}{\mathrm{e}}+1=1-\frac{1}{\mathrm{e}}\approx 0,632.$$

Vérification. $\frac{1}{\mathrm{e}}\approx 0,368$ et $0,368\le 0,632\le 1$ : l'encadrement est respecté.