L'aire sous une courbe qui redescend

Positivité. Pour $t\in [0,2]$, on a $2-t\ge 0$, et ${\mathrm{e}}^t>0$ toujours : le produit $f(t)$ est donc positif sur $[0,2]$.

Ce que vaut l'aire. Une fonction continue et positive sur $[a,b]$ a pour intégrale l'aire du domaine décrit. L'aire cherchée est donc $$\mathcal{A}={\int }_0^2(2-t){\mathrm{e}}^t\mathrm{d}t.$$

Intégration par parties. On dérive le facteur polynomial et l'on primitive l'exponentielle : $$u(t)=2-t,u^{\prime }(t)=-1,v^{\prime }(t)={\mathrm{e}}^t,v(t)={\mathrm{e}}^t,$$ toutes continues sur $[0,2]$. Alors $$\mathcal{A}=[(2-t){\mathrm{e}}^t{]}_0^2-{\int }_0^2(-1){\mathrm{e}}^t\mathrm{d}t=[(2-t){\mathrm{e}}^t{]}_0^2+{\int }_0^2{\mathrm{e}}^t\mathrm{d}t.$$

Les deux morceaux. Le crochet vaut $0\times {\mathrm{e}}^2-2\times {\mathrm{e}}^0=-2$. L'intégrale restante vaut $[{\mathrm{e}}^t{]}_0^2={\mathrm{e}}^2-1$.

Conclusion. $$\mathcal{A}=-2+{\mathrm{e}}^2-1={\mathrm{e}}^2-3\approx 4,39\text{uniteˊs d’aire}.$$

Contrôle. Le maximum de $f$ sur $[0,2]$ vaut $f(1)=\mathrm{e}\approx 2,72$, et $f$ s'annule en $t=2$ : l'aire est donc comprise entre $0$ et $2\times 2,72=5,44$. La valeur $4,39$ y est bien.