La valeur absolue, de part et d'autre de zéro

Le signe. $|t|=-t$ pour $t\le 0$ et $|t|=t$ pour $t\ge 0$ : on découpe en $t=0$.

Chasles. $${\int }_{-2}^2|t|\mathrm{d}t={\int }_{-2}^0(-t)\mathrm{d}t+{\int }_0^{2}t\mathrm{d}t.$$

Les deux morceaux. Une primitive de $t\mapsto -t$ est $t\mapsto -\frac{t^2}{2}$, donc $${\int }_{-2}^0(-t)\mathrm{d}t=[-\frac{t^2}{2}{]}_{-2}^0=0-(-2)=2.$$ De même ${\int }_0^{2}t\mathrm{d}t=[\frac{t^2}{2}{]}_0^2=2$.

Conclusion. ${\int }_{-2}^2|t|\mathrm{d}t=2+2=4$.

Contrôle géométrique. Le domaine est formé de deux triangles rectangles isocèles de côtés $2$, d'aire $\frac{2\times 2}{2}=2$ chacun : total $4$.

Le piège. Écrire ${\int }_{-2}^{2}t\mathrm{d}t=0$ et conclure que l'intégrale de $|t|$ est nulle : la valeur absolue interdit la compensation entre les deux moitiés.