La valeur absolue du logarithme

Le signe du logarithme. $\ln t\le 0$ sur $\left[\frac{1}{2},1\right]$ et $\ln t\ge 0$ sur $[1,2]$, la coupure se faisant en $t=1$ où $\ln 1=0$.

Chasles. $${\int }_{1/2}^2|\ln t|\mathrm{d}t=-{\int }_{1/2}^1\ln t\mathrm{d}t+{\int }_1^2\ln t\mathrm{d}t.$$

La primitive. Posons $F(t)=t\ln t-t$. Le contrôle est immédiat : $F^{\prime }(t)=\ln t+t\times \frac{1}{t}-1=\ln t$.

Premier morceau. $F(1)=-1$ et $F\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}\ln \frac{1}{2}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}\ln 2-\frac{1}{2}$, donc $${\int }_{1/2}^1\ln t\mathrm{d}t=-1-(-\frac{1}{2}\ln 2-\frac{1}{2})=\frac{1}{2}\ln 2-\frac{1}{2}.$$ Ce nombre vaut environ $-0,153$ : il est bien négatif, comme annoncé.

Second morceau. $F(2)=2\ln 2-2$, donc ${\int }_1^2\ln t\mathrm{d}t=2\ln 2-2-(-1)=2\ln 2-1$.

Conclusion. $${\int }_{1/2}^2|\ln t|\mathrm{d}t=-(\frac{1}{2}\ln 2-\frac{1}{2})+(2\ln 2-1)=\frac{3}{2}\ln 2-\frac{1}{2}\approx 0,540.$$ Positif, comme l'exige la positivité de l'intégrale d'une fonction positive.