La valeur actuelle d'un loyer

La formule. Un euro reçu dans $t$ années vaut ${\mathrm{e}}^{-rt}$ euro aujourd'hui, donc la valeur actuelle d'un flux constant $F$ sur $T$ années est $$V={\int }_0^{T}F{\mathrm{e}}^{-rt}\mathrm{d}t=F\times \frac{1-{\mathrm{e}}^{-rT}}{r},$$ une primitive de $t\mapsto {\mathrm{e}}^{-rt}$ étant $t\mapsto -\frac{1}{r}{\mathrm{e}}^{-rt}$.

L'application numérique. Ici $F=10000$, $r=0,03$ et $T=6$, donc $rT=0,18$ et $$V=10000\times \frac{1-{\mathrm{e}}^{-0,18}}{0,03}.$$ Avec ${\mathrm{e}}^{-0,18}\approx 0,8353$ : $$V\approx 10000\times \frac{0,1647}{0,03}\approx 54900\text{euros}.$$

La somme brute. Elle vaut $10000\times 6=60000$ euros.

Comparaison. La valeur actuelle est inférieure d'environ $5100$ euros, soit $8,5\%$. C'est le prix du temps : les loyers des dernières années valent moins que ceux des premières.

Contrôle de bon sens. Le facteur ${\mathrm{e}}^{-rt}$ est compris entre ${\mathrm{e}}^{-0,18}\approx 0,835$ et $1$ : la valeur actuelle doit être comprise entre $0,835\times 60000=50100$ et $60000$. Elle l'est.