Le signe avant le calcul

Le signe de $I$, sans calcul. Sur $[0,1]$ on a $0\le t\le 1$, donc $t^2\le t$ (multiplier $t\le 1$ par $t\ge 0$). Ainsi $t-t^2\ge 0$ sur tout $[0,1]$. Par positivité de l'intégrale, et puisque les bornes sont dans le bon ordre ($0\le 1$), on conclut $I\ge 0$.

Le calcul. Une primitive de $t\mapsto t-t^2$ est $t\mapsto \frac{t^2}{2}-\frac{t^3}{3}$, donc $$I=[\frac{t^2}{2}-\frac{t^3}{3}{]}_0^1=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}.$$ Le résultat est bien positif : la prévision est confirmée.

Le signe de $J$. Sur $[1,2]$ l'inégalité s'inverse : $t\ge 1$ donne $t^2\ge t$, donc $t-t^2\le 0$ sur $[1,2]$, et par positivité (appliquée à l'opposé) $J\le 0$.

Contrôle. $J=[\frac{t^2}{2}-\frac{t^3}{3}{]}_1^2=(2-\frac{8}{3})-\frac{1}{6}=-\frac{2}{3}-\frac{1}{6}=-\frac{5}{6}$, négatif comme prévu.

Ce qu'il faut retenir. La positivité de l'intégrale n'est utilisable que si la borne inférieure est plus petite que la borne supérieure : ${\int }_1^0(t-t^2)\mathrm{d}t=-\frac{1}{6}$ est négatif sans que la fonction change de signe.