Linéarité, terme à terme

Exercice · niveau 1 (application) · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 2 — Compléments d'intégration · Linéarité et relation de Chasles

Énoncé

Calculer $\int_{0}^{2} (3 t^{2} - 2 t + 1) d t$ de deux façons : directement par une primitive, puis en découpant l'intégrale par linéarité.

Corrigé

Par une primitive. $t \mapsto t^{3} - t^{2} + t$ est une primitive de l'intégrande, donc $\int_{0}^{2} (3 t^{2} - 2 t + 1) d t = [t^{3} - t^{2} + t]_{0}^{2} = 8 - 4 + 2 = 6$ .

Par linéarité. On sépare :

$3 \int_{0}^{2} t^{2} d t - 2 \int_{0}^{2} t d t + \int_{0}^{2} 1 d t = 3 \times \frac{8}{3} - 2 \times 2 + 2 = 8 - 4 + 2 = 6.$

Le même résultat. Les deux chemins donnent $6$ , comme il se doit. Sur un polynôme, la deuxième méthode ne fait gagner de temps que si l'on connaît déjà $\int_{0}^{2} t^{n} d t$ ; sur une somme de fonctions de natures différentes, elle est indispensable.

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