Quand une fois ne suffit pas

Première étape. $u^{\prime }(t)={\mathrm{e}}^{-t}$, $v(t)=t^2$, donc $u(t)=-{\mathrm{e}}^{-t}$ et $v^{\prime }(t)=2t$ :

$${\int }_0^1{t}^2{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t=[-t^2{\mathrm{e}}^{-t}{]}_0^1+2{\int }_0^{1}t{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t=-\frac{1}{\mathrm{e}}+2{\int }_0^{1}t{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t.$$

Seconde étape. Le cours a établi ${\int }_0^{1}t{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t=1-\frac{2}{\mathrm{e}}$. Donc

$${\int }_0^1{t}^2{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t=-\frac{1}{\mathrm{e}}+2-\frac{4}{\mathrm{e}}=2-\frac{5}{\mathrm{e}}\approx 0,1606.$$

Le mécanisme. Chaque intégration par parties fait baisser le degré du polynôme d'une unité. Pour $t^n{\mathrm{e}}^{-t}$, il en faudra $n$.

Contrôle de vraisemblance. Sur $[0,1]$ on a $t^2\le t$, donc l'intégrale doit être inférieure à $1-2/\mathrm{e}\approx 0,264$ : c'est bien le cas.