Un contrat versé en deux temps

L'écriture. Le revenu annuel $F(t)$ vaut $40000$ sur $[0,5]$ et $60000$ sur $[5,10]$. Par la relation de Chasles, $$V={\int }_0^{10}F(t){\mathrm{e}}^{-0,05t}\mathrm{d}t={\int }_0^{5}40000{\mathrm{e}}^{-0,05t}\mathrm{d}t+{\int }_5^{10}60000{\mathrm{e}}^{-0,05t}\mathrm{d}t.$$

La primitive commune. $t\mapsto -\frac{1}{0,05}{\mathrm{e}}^{-0,05t}=-20{\mathrm{e}}^{-0,05t}$.

Première période. $$V_1=40000\times 20(1-{\mathrm{e}}^{-0,25})=800000(1-{\mathrm{e}}^{-0,25}).$$ Avec ${\mathrm{e}}^{-0,25}\approx 0,7788$ : $V_1\approx 177000$ euros.

Seconde période. $$V_2=60000\times 20({\mathrm{e}}^{-0,25}-{\mathrm{e}}^{-0,5})=1200000({\mathrm{e}}^{-0,25}-{\mathrm{e}}^{-0,5}).$$ Avec ${\mathrm{e}}^{-0,5}\approx 0,6065$ : $V_2\approx 1200000\times 0,1723\approx 206700$ euros.

Conclusion. $V\approx 177000+206700\approx 383700$ euros.

Contrôle. La somme brute versée est $5\times 40000+5\times 60000=500000$ euros : la valeur actuelle doit lui être inférieure, et elle l'est. Elle doit aussi dépasser la valeur actuelle d'un flux constant de $40000$ sur dix ans, soit $800000(1-{\mathrm{e}}^{-0,5})\approx 314800$ euros — ce qui est le cas.