Un découpage imposé par le signe

Ce qu'on montre. Une valeur absolue ne se primitive pas : on découpe l'intervalle là où l'expression change de signe.

Le signe. $t^2-1=(t-1)(t+1)$, et sur $[0,3]$ le facteur $t+1$ est strictement positif : le signe est celui de $t-1$. L'expression est donc négative sur $[0,1]$ et positive sur $[1,3]$, le seul point de changement étant $t=1$.

Chasles. $${\int }_0^3|t^2-1|\mathrm{d}t={\int }_0^1(1-t^2)\mathrm{d}t+{\int }_1^3(t^2-1)\mathrm{d}t.$$

Les deux morceaux. Avec la primitive $t-\frac{t^3}{3}$ puis $\frac{t^3}{3}-t$ : $${\int }_0^1(1-t^2)\mathrm{d}t=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3},{\int }_1^3(t^2-1)\mathrm{d}t=(9-3)-(\frac{1}{3}-1)=\frac{20}{3}.$$

Conclusion. L'intégrale vaut $\frac{2}{3}+\frac{20}{3}=\frac{22}{3}\approx 7,33$. Sans la valeur absolue on aurait trouvé $6$, plus petit : c'est normal, le morceau négatif a été retourné.

Le point à retenir. Devant une valeur absolue, on étudie le signe, puis on coupe aux points de changement. Il n'y a jamais de primitive de $|f|$ à chercher.