Un encadrement du logarithme

Encadrement de la fonction. Sur $[1,2]$, la fonction $t\mapsto \frac{1}{t}$ est décroissante, donc $\frac{1}{2}\le \frac{1}{t}\le 1$.

Passage à l'intégrale. La largeur de l'intervalle vaut $2-1=1$, donc

$$\frac{1}{2}\times 1\le {\int }_1^2\frac{\mathrm{d}t}{t}\le 1\times 1.$$

Ce qu'on a encadré. Une primitive de $\frac{1}{t}$ sur $\left]0,+\infty \right[$ est $\ln t$, donc ${\int }_1^2\frac{\mathrm{d}t}{t}=\ln 2-\ln 1=\ln 2$. On vient donc de démontrer que $0,5\le \ln 2\le 1$, sans aucune calculatrice.

Contrôle. $\ln 2\approx 0,693$ : l'encadrement est correct, et plutôt serré pour le peu qu'il a coûté.