Un flux qui croît avec le temps

Ce qu'on montre. La linéarité sépare le flux constant du flux croissant ; le second demande une intégration par parties.

La séparation. $V=10000A+2000B$ avec $A={\int }_0^{10}{\mathrm{e}}^{-0,05t}\mathrm{d}t$ et $B={\int }_0^{10}t{\mathrm{e}}^{-0,05t}\mathrm{d}t$.

Le premier morceau. Une primitive de ${\mathrm{e}}^{-0,05t}$ est $-20{\mathrm{e}}^{-0,05t}$, donc $A=20(1-{\mathrm{e}}^{-0,5})\approx 7,869$.

Le second, par parties. Avec $u^{\prime }(t)={\mathrm{e}}^{-0,05t}$, $u(t)=-20{\mathrm{e}}^{-0,05t}$, $v(t)=t$ et $v^{\prime }(t)=1$ : $$B=[-20t{\mathrm{e}}^{-0,05t}{]}_0^{10}+20A=-200{\mathrm{e}}^{-0,5}+20A=400-600{\mathrm{e}}^{-0,5}.$$ Le point délicat est le signe : le $-$ de la formule et le $-20$ de $u$ se combinent en un $+$ devant l'intégrale restante.

Le résultat. $$V=200000(1-{\mathrm{e}}^{-0,5})+2000(400-600{\mathrm{e}}^{-0,5})=1000000-1400000{\mathrm{e}}^{-0,5},$$ soit, avec ${\mathrm{e}}^{-0,5}\approx 0,60653$, environ $150857$ euros.

Contrôle. Le montant nominal versé vaut ${\int }_0^{10}(10000+2000t)\mathrm{d}t=200000$ euros. La valeur actuelle lui est inférieure, comme attendu.

Le point à retenir. Un flux affine se traite en deux temps : la linéarité isole la partie constante, l'intégration par parties fait tomber le facteur $t$.