Un flux qui s'épuise

L'intégrale à écrire. Chaque euro reçu à l'instant $t$ est ramené à aujourd'hui par le facteur ${\mathrm{e}}^{-0,04t}$ : $$V={\int }_0^{10}30000{\mathrm{e}}^{-0,02t}{\mathrm{e}}^{-0,04t}\mathrm{d}t={\int }_0^{10}30000{\mathrm{e}}^{-0,06t}\mathrm{d}t,$$ les deux exponentielles se regroupant en une seule, d'exposant $-0,02t-0,04t=-0,06t$. C'est le point délicat : l'érosion du revenu et l'actualisation s'additionnent au niveau des taux.

Le calcul. Une primitive de $t\mapsto {\mathrm{e}}^{-0,06t}$ est $t\mapsto -\frac{1}{0,06}{\mathrm{e}}^{-0,06t}$, donc $$V=30000\times \frac{1-{\mathrm{e}}^{-0,6}}{0,06}=500000(1-{\mathrm{e}}^{-0,6}).$$ Avec ${\mathrm{e}}^{-0,6}\approx 0,5488$ : $V\approx 500000\times 0,4512\approx 225600$ euros.

Le flux constant. Pour $F=30000$ et $r=0,04$ : $$V_0=30000\times \frac{1-{\mathrm{e}}^{-0,4}}{0,04}=750000(1-{\mathrm{e}}^{-0,4})\approx 750000\times 0,3297\approx 247300\text{euros}.$$

Comparaison. Le flux qui s'épuise vaut environ $21700$ euros de moins, soit près de $9\%$. L'écart est plus faible qu'on ne l'imagine : les revenus les plus érodés sont aussi les plus lointains, donc les plus fortement actualisés.