Un logarithme divisé par un carré

Le choix. Le logarithme n'a pas de primitive simple, mais sa dérivée est élémentaire : on le dérive. Le facteur $1/t^2$, lui, se primitive sans peine. On pose donc $$u(t)=\ln t,u^{\prime }(t)=\frac{1}{t},v^{\prime }(t)=\frac{1}{t^2},v(t)=-\frac{1}{t}.$$ Ces quatre fonctions sont continues sur $[1,\mathrm{e}]$, intervalle qui ne contient pas $0$ : la formule s'applique.

La formule. $${\int }_1^{\mathrm{e}}\frac{\ln t}{t^2}\mathrm{d}t=[-\frac{\ln t}{t}{]}_1^{\mathrm{e}}+{\int }_1^{\mathrm{e}}\frac{1}{t}\times \frac{1}{t}\mathrm{d}t,$$ le signe de la seconde intégrale devenant $+$ car $v(t)=-1/t$.

Le crochet. En $t=\mathrm{e}$ : $-\frac{\ln \mathrm{e}}{\mathrm{e}}=-\frac{1}{\mathrm{e}}$. En $t=1$ : $-\frac{\ln 1}{1}=0$. Le crochet vaut $-\frac{1}{\mathrm{e}}$.

L'intégrale restante. ${\int }_1^{\mathrm{e}}\frac{\mathrm{d}t}{t^2}=[-\frac{1}{t}{]}_1^{\mathrm{e}}=-\frac{1}{\mathrm{e}}+1$.

Conclusion. $${\int }_1^{\mathrm{e}}\frac{\ln t}{t^2}\mathrm{d}t=-\frac{1}{\mathrm{e}}+1-\frac{1}{\mathrm{e}}=1-\frac{2}{\mathrm{e}}\approx 0,264.$$

Contrôle de signe. Sur $[1,\mathrm{e}]$, $\ln t\ge 0$ et $t^2>0$ : l'intégrale doit être positive, et $1-2/\mathrm{e}\approx 0,264$ l'est.