Un polynôme, borne à borne

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 2 — Compléments d'intégration · Calculs directs par une primitive

Énoncé

Calculer $\int_{1}^{2} (3 t^{2} - 4 t + 5) d t$ .

Corrigé

Une primitive. La fonction intégrée est un polynôme ; on primitive terme à terme, en utilisant que $t^{k}$ a pour primitive $\frac{t ^{k + 1}}{k + 1}$ : $F (t) = t^{3} - 2 t^{2} + 5 t .$ Contrôle immédiat : $F^{'} (t) = 3 t^{2} - 4 t + 5$ .

L'évaluation. $F (2) = 8 - 8 + 10 = 10, F (1) = 1 - 2 + 5 = 4.$

Conclusion. $\int_{1}^{2} (3 t^{2} - 4 t + 5) d t = F (2) - F (1) = 10 - 4 = 6.$

Contrôle grossier. Sur $[1, 2]$ , la fonction $3 t^{2} - 4 t + 5$ vaut $4$ en $t = 1$ et $9$ en $t = 2$ ; son intégrale sur un intervalle de longueur $1$ doit donc être comprise entre $4$ et $9$ . La valeur $6$ y est.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.