Un polynôme, borne à borne

Une primitive. La fonction intégrée est un polynôme ; on primitive terme à terme, en utilisant que $t^k$ a pour primitive $\frac{t^{k+1}}{k+1}$ : $$F(t)=t^3-2t^2+5t.$$ Contrôle immédiat : $F^{\prime }(t)=3t^2-4t+5$.

L'évaluation. $$F(2)=8-8+10=10,F(1)=1-2+5=4.$$

Conclusion. $${\int }_1^2(3t^2-4t+5)\mathrm{d}t=F(2)-F(1)=10-4=6.$$

Contrôle grossier. Sur $[1,2]$, la fonction $3t^2-4t+5$ vaut $4$ en $t=1$ et $9$ en $t=2$ ; son intégrale sur un intervalle de longueur $1$ doit donc être comprise entre $4$ et $9$. La valeur $6$ y est.