Un polynôme du premier degré et une exponentielle

Le choix. On dérive le polynôme et l'on primitive l'exponentielle : c'est ce choix qui fait baisser le degré. On pose donc $$u(t)=2t+1,u^{\prime }(t)=2,v^{\prime }(t)={\mathrm{e}}^{3t},v(t)=\frac{1}{3}{\mathrm{e}}^{3t}.$$ Les quatre fonctions sont continues sur $[0,1]$ : la formule s'applique.

La formule. $${\int }_0^1(2t+1){\mathrm{e}}^{3t}\mathrm{d}t=[(2t+1)\frac{1}{3}{\mathrm{e}}^{3t}{]}_0^1-{\int }_0^{1}2\times \frac{1}{3}{\mathrm{e}}^{3t}\mathrm{d}t.$$

Le crochet. En $t=1$ : $3\times \frac{1}{3}{\mathrm{e}}^3={\mathrm{e}}^3$. En $t=0$ : $1\times \frac{1}{3}=\frac{1}{3}$. Le crochet vaut donc ${\mathrm{e}}^3-\frac{1}{3}$.

L'intégrale restante. $${\int }_0^1\frac{2}{3}{\mathrm{e}}^{3t}\mathrm{d}t=\frac{2}{3}[\frac{1}{3}{\mathrm{e}}^{3t}{]}_0^1=\frac{2}{9}({\mathrm{e}}^3-1).$$

Conclusion. $${\int }_0^1(2t+1){\mathrm{e}}^{3t}\mathrm{d}t={\mathrm{e}}^3-\frac{1}{3}-\frac{2}{9}{\mathrm{e}}^3+\frac{2}{9}=\frac{7}{9}{\mathrm{e}}^3-\frac{1}{9}\approx 15,51.$$

Contrôle grossier. Sur $[0,1]$, $(2t+1){\mathrm{e}}^{3t}$ varie de $1$ à $3{\mathrm{e}}^3\approx 60$ ; une valeur de l'ordre de $15$ est plausible pour la moyenne sur un intervalle de longueur $1$, l'exponentielle concentrant la masse près de $t=1$.