Un produit avec logarithme

Le choix. $\ln t$ se simplifie en dérivant, $t$ se primitive sans peine : on pose $v(t)=\ln t$ et $u^{\prime }(t)=t$, donc $v^{\prime }(t)=\frac{1}{t}$ et $u(t)=\frac{t^2}{2}$.

La formule.

$${\int }_1^{\mathrm{e}}t\ln t\mathrm{d}t={\left[\frac{t^2}{2}\ln t\right]}_1^{\mathrm{e}}-{\int }_1^{\mathrm{e}}\frac{t^2}{2}\times \frac{1}{t}\mathrm{d}t=\frac{{\mathrm{e}}^2}{2}-\frac{1}{2}{\int }_1^{\mathrm{e}}t\mathrm{d}t.$$

La fin du calcul. ${\int }_1^{\mathrm{e}}t\mathrm{d}t=\frac{{\mathrm{e}}^2-1}{2}$, donc

$${\int }_1^{\mathrm{e}}t\ln t\mathrm{d}t=\frac{{\mathrm{e}}^2}{2}-\frac{{\mathrm{e}}^2-1}{4}=\frac{{\mathrm{e}}^2+1}{4}\approx 2,0973.$$

Contrôle. Sur $[1,\mathrm{e}]$ on a $0\le \ln t\le 1$, donc $0\le {\int }_1^{\mathrm{e}}t\ln t\mathrm{d}t\le {\int }_1^{\mathrm{e}}t\mathrm{d}t=\frac{{\mathrm{e}}^2-1}{2}\approx 3,19$. La valeur trouvée est bien dans cet intervalle.