Un produit avec une exponentielle

Le choix des rôles. On dérive $t$, qui devient $1$, et l'on primitive ${\mathrm{e}}^{2t}$ : $$u(t)=t,u^{\prime }(t)=1,v^{\prime }(t)={\mathrm{e}}^{2t},v(t)=\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{2t}.$$ Les quatre fonctions sont continues sur $[0,1]$ : la formule s'applique.

La formule. $${\int }_0^{1}t{\mathrm{e}}^{2t}\mathrm{d}t=[t\times \frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{2t}{]}_0^1-{\int }_0^{1}1\times \frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{2t}\mathrm{d}t.$$

Le crochet. En $t=1$ : $\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^2$. En $t=0$ : $0$. Il vaut donc $\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^2$.

L'intégrale restante. $${\int }_0^1\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{2t}\mathrm{d}t=\frac{1}{2}[\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{2t}{]}_0^1=\frac{1}{4}({\mathrm{e}}^2-1).$$

Conclusion. $${\int }_0^{1}t{\mathrm{e}}^{2t}\mathrm{d}t=\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^2-\frac{1}{4}{\mathrm{e}}^2+\frac{1}{4}=\frac{{\mathrm{e}}^2+1}{4}\approx 2,10.$$

Contrôle de signe. La fonction intégrée est positive sur $[0,1]$ : le résultat doit l'être, et il l'est.