Une exponentielle et un inverse

La première. Une primitive de $t\mapsto {\mathrm{e}}^{2t}$ est $t\mapsto \frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{2t}$ — on divise par le coefficient de $t$ dans l'exposant, ce que confirme la dérivation : ${\left(\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{2t}\right)}^{\prime }={\mathrm{e}}^{2t}$. Donc $${\int }_0^1{\mathrm{e}}^{2t}\mathrm{d}t=[\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{2t}{]}_0^1=\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^2-\frac{1}{2}=\frac{{\mathrm{e}}^2-1}{2}\approx 3,19.$$

La seconde. Sur $[1,3]$, qui ne contient pas $0$, une primitive de $t\mapsto \frac{1}{t}$ est $t\mapsto \ln t$. Donc $${\int }_1^3\frac{\mathrm{d}t}{t}=[\ln t{]}_1^3=\ln 3-\ln 1=\ln 3\approx 1,10.$$

Le point à surveiller. Le facteur $\frac{1}{2}$ de la première : oublier de diviser par $2$ est l'erreur la plus fréquente. La dérivation du résultat la détecte immédiatement.