Une fonction constante par morceaux

L'outil. On découpe en $t=1$, là où la formule change : $${\int }_0^{3}f(t)\mathrm{d}t={\int }_0^{1}f(t)\mathrm{d}t+{\int }_1^{3}f(t)\mathrm{d}t.$$

Premier morceau. $f$ y vaut la constante $2$, donc $${\int }_0^{1}2\mathrm{d}t=[2t{]}_0^1=2.$$

Second morceau. Une primitive de $t\mapsto t+1$ est $t\mapsto \frac{t^2}{2}+t$, donc $${\int }_1^3(t+1)\mathrm{d}t=[\frac{t^2}{2}+t{]}_1^3=(\frac{9}{2}+3)-(\frac{1}{2}+1)=\frac{15}{2}-\frac{3}{2}=6.$$

Conclusion. ${\int }_0^{3}f(t)\mathrm{d}t=2+6=8$.

Contrôle géométrique. $f$ est positive : l'intégrale est l'aire sous la courbe, soit un rectangle de dimensions $1\times 2$ (aire $2$) et un trapèze de bases $2$ et $4$ et de hauteur $2$ (aire $\frac{2+4}{2}\times 2=6$). Total $8$.